Jumat, 27 Februari 2015

Momen Inersia Dan Tenaga Kinetik Rotasi

Momen inersia dan tenaga kinetik rotasi dapat terjadi pada sistem diskrit dan kontinu.  Momen inersia sama dengan massa pada gerakan translasi, demikian juga fungsinya. Besar momen inersia bergantung pada massanya dan juga jaraknya dari sumbu rotasi. Semakin jauh dari sumbu rotasi maka momen inersianya akan semakin besar.

Momen Inersia Dan Tenaga Kinetik Rotasi Pada Sistem Diskrit

Benda A dan benda B dihubungkan dengan batang ringan yang tegar dengan sebuah batang tegak yang merupakan sumbu rotasi kedua benda. Kemudian kedua benda dirotasikan dengan kecepatan sudut yang sama sebesar w. Benda A berjarak r1 dari sumbu rotasi dan benda B berjarak r2 dari sumbu rotasinya. Kecepatan linear benda A adalah v1 dan kecepatan linear benda B adalah v2. Berapakah tenaga kinetik kedua benda tersebut?
Tenaga kinetik benda A adalah :
K_{A}=\frac{1}{2}m_{A}v_{1}^{2}
Tenaga kinetik benda B adalah :
K_{B}=\frac{1}{2}m_{B}v_{1}^{2}
Bila dinyatakan dengan kecepatan sudutnya dengan mengingat v = rω maka tenaga kinetik kedua benda tersebut adalah :
K_{A}=\frac{1}{2}m_{A}(r_{A}\omega )^{2}=\frac{1}{2}m_{A}r_{A}^{2}\omega ^{2}
K_{B}=\frac{1}{2}m_{B}(r_{B}\omega )^{2}=\frac{1}{2}m_{B}r_{B}^{2}\omega ^{2}
Secara umum, persamaan diatas dapat juga kita tuliskan sebagai
K=\frac{1}{2}I\omega ^{2}
dengan momen inersia atau I sebagai
I = mr2
Kedua persamaan tersebut merupakan tenaga kinetik rotasi suatu partikel. Momen inersia sama dengan massa pada gerakan translasi, demikian juga fungsinya. Kecepatan sudut kedua benda sama yaitu w tetapi besarnya tenaga kinetik rotasi berbeda disebabkan karena momen inersianya berbeda. Sama halnya dengan dua benda bergerak translasi dengan kecepatan sama, tenaga kinetiknya akan berbeda sebanding dengan massanya dan satuan momem inersia adalah kg/m2.
Besar momen inersia bergantung pada massanya dan juga jaraknya dari sumbu rotasi. Semakin jauh dari sumbu rotasimaka momen inersianya akan semakin besar. Pada benda B benda di atas manakah yang memiliki momen inersia yang lebih besar? Kedua benda bermassa sama, tetapi r2 > r1 sehingga momen inersia benda B lebih besar daripada benda A. Dengan demikian, kita bisa melihat bahwa momen inersia menunjukkan sebaran massanya. Semakin besar jaraknya yang berarti semakin tersebar, maka momen inersianya semakin besar.
Untuk sistem dengan dua benda seperti pada gambar maka momen inersia sistem adalah IA + IB. Bila suatu sistem terdiri atas banyak partikel maka momen inersia totalnya merupakan jumlah momen inersia masing-masing partikel.
I=\sum m_{1}r_{1}^{2}=m_{1}r_{1}^{2}+m_{2}r_{2}^{2}+...
Pada sistem dua benda di atas momen inersia totalnya adalah :
I=mr_{1}^{2}+mr_{2}^{2}
Momen Inersia Dan Tenaga Kinetik RotasiBenda A dan B yang sedang berotasi
Gambar diatas benda A berjarak r1 dari sumbu dan B berjarak r2 dari sumbu rotasi. Kedua benda massanya sama, momen inersia benda B lebih besar daripada momen inersia benda kedua. Momen inersia total adalah jumlah antara momen inersia A dan B.

Momen Inersia Dan Tenaga Kinetik Rotasi Pada Sistem Kontinu

Sekarang kita akan mencari momen inersia untuk sistem dengan distribusi massa kontinu. Mari kita tinjau sebuah benda tegar misalnya sebuah batang bermassa total M. Batang tadi sebenarnya terdiri atas partikel bermassa kecil-kecil yang bila dijumlahkan semuanya berjumlahM, sehingga momen inersia batang adalah jumlah dari seluruh momen inersia partikel bermassa.
Batang bermassa M dibagi menjadi elemen kecil-kecil bermassa dm dengan panjang dl.Batang bermassa M dibagi menjadi elemen kecil-kecil bermassa dm
dengan panjang dl.
Kita bisa membagi batang di atas menjadi n buah elemen dl. Setiap panjang dl bermassa sebesar dm. Total massa adalah Σdm = M. Batang tadi memiliki kerapatan yang homogen, artinya kerapatan di setiap titik adalah sama. Misalnya kerapatan kita beri simbol λ besarnya kerapatan adalah massa total dibagi dengan panjangnya, yaitu sebesar
\lambda =\frac{M}{L}
maka bisa mencari besarnya dm sebagai
dm=\lambda dl=\frac{m}{l}dl
Satuan kerapatan pada masalah ini adalah satuan massa persatuan panjang atau kg/m. Berapakah momen inersia batang bila diputar dengan sumbu rotasi terletak di ujung batang?
Batang diputar terhadap sumbu yang melewati ujung batangBatang diputar terhadap sumbu yang melewati ujung batang
Besarnya momen inersia adalah tiap elemen dm adalah:
I=\int_{0}^{L}r^{2}dm
Nilai r bervariasi yaitu mulai dari 0 atau r di ujung batang di posisi x = 0 sampai L atau nilai r di ujung yang lainnya. Dengan menggunakan dm pada persamaan diatas dan mengingat dl = dxkarena batang terletak pada sumbu x maka :
I=\int_{0}^{L}x^{2}\frac{M}{L}dx=\frac{M}{L}\int_{0}^{L}x^{2}dx
I=\frac{M}{L}\left [ \frac{x^{3}}{3} \right ]_{0}^{L}=\frac{M}{L}\left [ \frac{L^{3}}{3}-\frac{0^{3}}{3} \right ]=\frac{ML^{2}}{3}
sumbu rotasiBatang dirotasikan terhadap sumbu yang tegak lurus batang yang berada di tengah batang
Bagaimana kalau kita menggeser sumbu rotasi sehingga sumbu rotasi melewati bagian tengah batang seperti pada gambar diatas. Kita masih menggunakan persamaan yang sama. Batas untuk dx bukan dari 0 sampai L tetapi dari -\frac{L}{2} sampai +\frac{L}{2}, sehingga momen inersia batang adalah :
I=\int_{\frac{-L}{2}}^{\frac{L}{2}}x^{2}\frac{M}{L}dx=\frac{M}{L}\int_{\frac{-L}{2}}^{\frac{L}{2}}x^{2}dx
I=\frac{M}{L}\left [ \frac{x^{3}}{3} \right ]_{\frac{-L}{2}}^{\frac{L}{2}}=\frac{M}{L}\left [ \frac{(\frac{L}{2})^{3}}{3}-\frac{(\frac{-L}{2})^{3}}{3} \right ]
I=\frac{M}{3L}\left [ \frac{L^{3}}{8}-\frac{-L}{8} \right ]=\frac{ML^{2}}{12}
Tampak bahwa momen inersia batang akan berbeda jika sumbu rotasinya berbeda. Momen inersia untuk berbagai bentuk benda tegar dapat dilihat pada tabel momen inersia.
Momen Inersia untuk Berbagai Benda pada Berbagai Sumbu RotasiMomen inersia dan tenaga kinetik rotasi untuk berbagai benda pada berbagai sumbu rotasi
-

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Langganan: Posting Komentar (Atom)

Entri yang Diunggulkan

Barru WanuAku